Перейти к скачиванию этого материала в оригинальном виде.

158М 0130-3358

научно-теоретически1! и методический урнал
Математика

• «'Мм.

Перпендикулярность прямых и плоскостей" в X классе Столетний учебник арифметики сегодня Школьные математические олимпиады
2000


Уважаемые читатели!
Продолжается подписка на журнал "Математика в школе"
на первое полугодие 2001 года. Подписка проводится по каталогу "Газеты. Журналы" агентства "Роспечать"
1. Журнал "Математика в школе"
(5 номеров в полугодие) для индивидуальных подписчиков каталожная цена подписной индекс
27 руб./номер; 135 руб./полугодие 70557
для предприятий и организаций каталожная цена подписной индекс
45 руб./номер; 225 руб./полугодие 71239
2. Комплекты:
а) журнал "Математика в школе"
библиотеки журнала: "Информатика и информационные технологии: примерное поурочное
планирование с применением аудиовизуальных средств"; "Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения (по итогам 1999—2000 гг.)"
каталожная цена подписной индекс
148 руб. 79251
б) журнал "Математика в школе"
библиотека журнала: "Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения (по итогам 1999—2000 гг.)" каталожная цена подписной индекс
142 руб. 80247
Проводится также адресная подписка по Объединенному каталогу (зеленый) газет и журналов
Журнал "Математика в школе" подписной индекс
87386
Подписка на журнал проводится также в издательстве "Школьная Пресса" Подписаться на журнал можно с любого номера
Адрес издательства: 127254, Москва, ул. Руставели, д.10, корп.З Тел.: (095) 219-8380

Министерство образования Российской Федерации • Издательство «Школа-Пресс»
П
НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Издается с мая 1934 г.
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ XXI ВЕКА_
2 Шевкин А.В.
Наступим ли еще раз на грабли, реформируя школу?
МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР_
5 Чаплыгин В.Ф.
Главное в системе образования — подготовка учителя 7 Далингер В.А.
О тематике учебных исследований школьников 10 Белобородое В.Н., Гусева И.Л., Татур А.О. Стартовый контроль по математике в V классе
ОТКРЫТЫЙ УРОК_
14 Цукарь А.Я.
Упражнения на развитие пространственного воображения 19 Кордина Н.Е.
Система упражнений на дроби
КОНСУЛЬТАЦИЯ_
23 Саакян С.М., Бутузов В.Ф.
Изучение темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей» в X классе
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
37 Болтянский В.Г., Яглом И.М.
Школьный математический кружок при МГУ и Московские математические олимпиады 50 Дворянинов С. В.
Как живешь, олимпиада?
52 Задачи районных (городских) олимпиад
2000
55 Агаханов Н.Х., Кузнецова Г.М., Терёшин Д.А. ХЫ Международная математическая олимпиада
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ
61 Полякова Т.С.
Зарождение отечественной методики математики на рубеже XVIII—XIX вв. 65 Плечова В.М., Плечов Г.Н.
Старинный учебник арифметики для современной школы
ЗАДАЧИ_
69
ВЕСТИ ИЗ МОСКОВСКИХ ШКОЛ_
74 Акимова Н.В., Герасимова Г. И.
В методическом объединении учителей Западного округа
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ_
75 Винокуров Е.Ф.
«Экономика на уроках математики»
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА_
77 Худадатова С.С.
«Зоопарк» кроссвордов
ХРОНИКА_
80 Всеросссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков»
А.К.Окунев
Главный редактор А.И.Верченко
Заместитель главного редактора
Н.А.Курдюмова
Редакторы отделов
А.А.Лаврентьев, ИЛ.Кукало
Младший редактор
Н.А.Мишвеладзе
Отдел задач
Л.П.Купцов, С.В.Резниченко, Д.А.Терёшин, С.И.Токарев
Заведующая редакцией З.В.Шепелева
Издательство ООО «Школьная Пресса»
Адрес издательства:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3. Телефон 219-83-80
Адрес редакции:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3. Телефон 219-52-87, 219-52-89
Е-таН: тагке1т§@8Ько1а-рге88.ги _
Журнал зарегистрирован Государственным комитетом РФ по печати, рег. № 015437 Формат 84x108 1/16 Тираж 33 000 экз. Заказ 2503 Отпечатано на ордена Трудового Красного Знамени ГУП Чеховском полиграфическом комбинате Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 142300, г. Чехов Московской области. Тел. (272) 71-336. Факс (272) 62-536 © «Школьная Пресса», © «Математика в школе», 2000, № 9
Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ XXI ВЕКА
Заочный семинар продолжает свою работу.
Слово имеет учитель математики московской школы № 679 кандидат педагогических наук Соросовский учитель Александр Владимирович ШЕВКИН.
А.В.Шевкин известен читателям журнала своими статьями, в которых он в той или иной форме обосновывает необходимость возрождения в школьном курсе математики раздела Арифметика (именно с большой буквы). Эта тема является доминантой и в сегодняшнем его выступлении. Можно соглашаться, можно не соглашаться с доводами А.В.Шевкина, но в одном он безусловно прав — почему-то мы неотвратимо стремимся наступать все на те же грабли, сокращая арифметику.
Всех заинтересованных в совершенствовании математического образования приглашаем принять участие в заочном семинаре «Математика в школе XXI века».
НАСТУПИМ ЛИ ЕЩЕ РАЗ НА ГРАБЛИ, РЕФОРМИРУЯ ШКОЛУ?
А.В.ШЕВКИН (Москва) =
На мой взгляд, первая ошибка прежней реформы математического образования, начавшейся в конце 60-х гг., заключалась в упразднении курса арифметики. Один из идеологов этой реформы А.И.Мар-кушевич писал: «...роль арифметики в качестве первоначального введения в математику до сих пор несколько преувеличивалась». На один из первых планов А.И.Маркушевич выдвинул изучение понятий «множество» и «соотношение». Как школа пережила их внедрение напоминать не нужно. Царицу наук лишили ее трона, и последствия, которые предсказывались уже тогда, были печальны.
Вторая ошибка заключалась в ранней алгебраи-зации процесса решения задач, которая привела к утрате традиционной методики работы с текстовыми задачами.
Той и другой ошибки можно было избежать, если бы предложения реформаторов обсуждались широко и организаторы реформы больше прислушивались к аргументам своих оппонентов. Но в нашей стране, похоже, прав не тот, кто прав, а тот, кого назначили быть правым.
Сегодня я остановлюсь на проблеме обучения решению текстовых задач, методика работы с которыми в ходе той реформы 60—70 гг. была кардинально пересмотрена.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место, и это почти исключительно российский феномен. В других странах никогда не были так озабочены обучением детей решению задач. Почему так происходило?
Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время математические знания переда-
вались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). Так было и в России. В наиболее известном российском учебнике Л.Ф.Магницкого «Арифметика» (1703) дроби рассматрива-
1 1 *
лись как именованные числа (не просто —, а — рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными
типа «Продано Зу^ кг сахара по 2уруб. за килограмм...» или «Заяц в 1,35 ч пробегает 14,13855 км...». Они были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям.
Обучение велось по образцам, ученики подражали учителю, не всегда понимая сути выполняемых ими вычислений. Считалось, что понимать-то едва ли нужно. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. Так описывал школьную практику давних лет В.Беллюстин в книге «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1923).
Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывавшую определенное воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность и показывающую связь изучаемого с практикой.
К середине XX в. сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), надроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения реше-

нию задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики традиционной методики обучения решению задач в то время обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, попросту натаскивали учащихся на решении типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам.
Спору нет, не все было гладко с обучением решению задач. Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось осуществить в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х гг. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-ново-му организовать обучение решению задач, что учащимся будут показаны преимущества алгебраического способа решения перед арифметическим. В дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения самим учащимся. Это написано в объяснительной записке к программе по математике для IV—V классов на 1971/72 учебный год.
Хотели как лучше, а получилось... как всегда, ибо на практике новые идеи не реализовывались уже потому, что способ решения задачи выбирали не ученики, а авторы единственного тогда учебника. Традиционных арифметических способов решения задач больше не изучали. В самом начале IV (теперь V) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Такое отношение к арифметическим способам решения задач отражало мнение многих методистов. Например, один из авторов первых вариантов учебника по математике Н.Я.Ви-ленкина и других, К.И.Нешков писал: «Даже та исключительная роль "развития сообразительности и смекалки", которая приписывалась арифметическим задачам, оказалась преувеличенной. В результате анализа "сообразительности и смекалки" и выделения их составных частей [? — А.Ш.] оказалось, что с этой ролью могут справиться не только арифметические задачи...»
Даже через 20 лет после начала реформы 70-х гг. Н.Я.Виленкин утверждал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом...» (Математика в школе. 1988. № 4).
А в те годы ведущие методисты пришли к мнению о нецелесообразности и даже вредности решения задач арифметическими способами. Еще одно свидетельство тому находим у Ю.М.Колягина: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана все-
ми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» (Советская педагогика. 1974. № 6).
Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраических способов решения задач в учебном процессе была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы решения задач.
Математиков-методистов почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент, как уже показано выше, ставился под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т.п.» (Колягин Ю.М. Советская педагогика. 1974. № 6). Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике и вера в их влияние на воспитание учащихся преобладали долгие годы.
Приближение школы к жизни часто приобретало смешные формы. В книге серии «Проблемы школьного учебника. Выпуск 12» предложено использовать в учебнике такие «практические» задачи:
«Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько т крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови?»
Вместо того чтобы попытаться понять, зачем нужны арифметические способы решения задач, найти разумное сочетание этих способов и использования уравнений, вместо того чтобы сохранить лучшее из традиционной методики, авторы учебников искоренили саму методику. Это напоминало лечение головной боли отсечением головы. Почему так произошло? Трудно объяснить.
Соавторы Н.Я.Виленкина по первому варианту ныне действующего учебника К.И.Нешков и А.Д.Семушин, критикуя практику обучения решению задач, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» Но правда заключается в том, что правильная методика обучения никогда и не требовала решать задачи по заученной схеме, т.е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения.
г
Думается, обучение решению задач никогда не было простым делом, даже тогда, когда обучались не все дети школьного возраста. А с ростом всеобуча и превращением учительской профессии в массовую методисты того времени не нашли ничего лучшего как механизировать трудоемкий процесс решения задач — дать один универсальный способ для решения разнообразных задач. Они сделали ставку на уравнение — и ошиблись.
Что же мы имеем теперь? Указанные выше недостатки реализации традиционной методики обучения решению задач, связанные с разучиванием различных способов решения, не преодолены и теперь. Различие только в том, что типовых задач стало меньше, а опыт мыслительной деятельности школьников — беднее. А дети, как и в прежние годы, все равно выделяют для себя типы задач.
Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи "на пусть"» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «пусть х...». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше. Стоит ли и дальше в обучении следовать принципу «экономии мышления»?
Сравнивая российское преподавание математики с американским, академик В.И.Арнольд писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет назад в семьях сохранялись старинные "купеческие" задачи. Теперь это утрачено. Алгебраиза-ция последней реформы преподавания математики [60-х гг. — А.Ш.] превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим»1.
Как известно, мышление пятиклассников (тем более учащихся начальной школы) еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и получает мало пользы для своего развития от работы с уравнениями. Мышление ребенка конкретно, и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач. А волноваться за формирование способов действий, не имеющих непосредственного приложения к рационализации производства и т.п., не следует.
1 Арнольд В.И. Избранное - 60. М.: ФАЗИС, 1997. (В первом номере «Школьного обозрения» за 1999 г. приведены и поучительные задачи из американского опыта, который мы зачем-то стремимся копировать.)
Если хорошо продуманная и специальным образом организованная работа учителя с задачами позволит ребенку переходить от простого к сложному; если она обогатит опыт мыслительной деятельности ребенка разнообразными, пусть и искусственными, приемами рассуждений, то тем самым будет достигнута истинная цель обучения.
Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их приемами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь отдельный прием решения задач может быть забыт учащимися или вытеснен в дальнейшем обучении другим, более общим приемом. Но развивающиеся в процессе обучения мышление и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решения новых задач. Таким образом, в современных условиях цели обучения решению задач должны включать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различными приемами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин. Эти цели не должны ограничиваться минимальными потребностями практики и дальнейшего обучения или потребностями чисто арифметического характера.
В моей книге для учителя «Обучение решению текстовых задач» (М.: Галс, 1998) подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям отечественного математического образования через много лет после «несчастливой реформы» конца 60-х — начала 70-х гг.
Необходимо отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения.
Надо отказаться от хаотичного предложения учащимся задач, требующих разных приемов решения. Практика показала, что для обучения вредно каждый раз ставить в тупик наименее подготовленных учащихся во имя того, чтобы исключить формирование каких-то «вредных стереотипов». Вместо этого, отрабатывая тот или иной прием решения, надо предлагать цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных. Эти последние не всегда могут быть решены самими учащимися, они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.
Ради чего я отнимаю столько времени у терпеливого читателя, пускаясь в обсуждение подробностей лишь одной маленькой методической пробле-

мы и способа ее решения в ходе «несчастливой реформы»?
Хотелось бы, чтобы в ходе подготовки новой реформы мы не наделали новых ошибок, а для этого надо внимательно изучать прежний опыт, понять его рациональное зерно, не упразднять поспешно старое, как упразднили когда-то курс арифметики и типовые задачи, которые оказались востребованными через 30 лет, когда прежние традиции почти утратились.
Первые поводы для беспокойства, вызванного новой реформой, уже появились. В опубликованном проекте концепции математического образования в двенадцатилетней школе (Математика в школе. 2000. № 2) записаны совершенно правильные слова о необходимости сохранения лучших российских традиций математического образования и од-
новременно с этим вообще ничего не сказано о текстовых задачах, которые и являются одним из традиционных элементов российского математического образования.
Впрочем, в этом документе много и других спорных мест. Так, геометрия — древнейший пласт человеческой культуры — поставлена в один ряд с новомодным «анализом данных», что может привести к новой спирали отказа от традиций без должного анализа возможных последствий.
Хотелось бы надеяться, что будет проведено гласное обсуждение высказанных в проекте концепции предложений, учтены все мнения, а не только поспешные решения лиц, назначенных на этот раз быть правыми.
Конечно, следует стремиться делать как лучше, но остерегаться, чтобы не получилось как всегда.
МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР
ГЛАВНОЕ В СИСТЕМЕ ОБРАЗОВАНИЯ -ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ
В.Ф.ЧАПЛЫГИН (Ярославль) -
Эту заметку можно рассматривать как отклик на обращение журнала. В ней содержатся некоторые мысли о преподавании математики в школе. Автору этой заметки на протяжении почти 40 лет пришлось много работать со школьниками и учителями.
С большим удовольствием прочитал статью Н.Х.Розова «Вечные вопросы о школьном курсе математики. Чему учить?» (Математика в школе. 1999. №6). Она интересна по содержанию и оригинальна по форме. Со многими высказанными в ней положениями абсолютно согласен, особенно в той части, где идет речь о перегруженности программы и, следовательно, учащихся, о серьезных недостатках в преподавании, о слабой подготовке учителей, неправильной стратегии преподавания. Но, на мой взгляд, главным все же остается вопрос о том, кто преподает в школе. Слабо подготовленного по математике учителя не выручат никакие самые хорошие учебники и пособия, никакие методические ухищрения. К сожалению, приходится констатировать, что многие учебные заведения, осуществляющие подготовку преподавателей школ, завышают оценки студентам в погоне за хорошими показателями, не предъявляют к их знаниям достаточных требований.
Мне уже приходилось высказывать мнение о так
называемых стандартах на страницах журнала «Математика в школе» и на заседании секции средней школы ММО. Дело, конечно, не в том, удачен или неудачен сам термин «стандарт». Важно правильно и четко очертить необходимый круг знаний и умений, которым должен овладеть каждый выпускник школы, оговорив, что это — нижняя планка, минимум, ниже которого опускаться нельзя. В аттестате зрелости выпускника средней школы, не усвоившего этот минимум, вместо оценки по математике должен быть проставлен прочерк. После того как стандарт определен, все дальнейшее зависит от учителя. Преподавание ни в коем случае не должно сводиться к натаскиванию на этот минимум. На всяком уроке, в любой самостоятельной или контрольной работе учитель может предложить задания различных уровней сложности, чтобы и слабый ученик нашел посильную для себя задачу, и сильный не скучал. На факультативных занятиях учащимся, наиболее интересующимся математикой или намеревающимся поступать в вузы, можно давать трудные задачи, рассказывать о современных проблемах математики.
Нельзя не согласиться с Н.Х.Розовым в том, что за последние 30-40 лет создана «математика вступительных экзаменов». Ни для кого не секрет, что в ее создании довольно активное участие принимал и сам Н.Х.Розов. Но это не так уж и плохо, что на конкурсных экзаменах предлагаются не только стандартные или типичные задачи,

Перейти к скачиванию этого материала в оригинальном виде.

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь. Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо зайти на сайт под своим именем.